1.논리와 명제
1. 논리와 명제
논리는 한가지 현상에 대해서 주장하고 이를 증명하는 것을 의미한다. 예를들어 "사람들은 화장실에 가면 소변을 본다"라는 한가지 문장이 있다고 하자. 이 문장을 우리는 명제라고 한다. 이 처럼 한가지 현상을 주장하는 것을 논증이라 하고, 이미 우리가 알고있는 사실들을 통해 위 명제가 참인지 거짓인지 밝혀 내는 작업을 추론이라고 한다. 이와 같은 행위 자체를 논리라고 말하고, 논리를 연구하는 학문을 논리학이라고 한다.
명제란 앞에서 설명했듯이 참인지 거짓인지를 판별 할 수 있는 문장이어야 한다. 참인지 거짓인지 판별할 수 없는 문장은 명제가 아니다. 아래에 3가지 문장에 대해 명제인지 아닌지 판별한다면 다음과 같다.
- 지구는 둥글다. (참인 명제)
- 프랑스는 아시아 대륙에 있다. (거짓인 명제)
- 아이린은 예쁘다. (명제가 아님)
명제 기호 |
종류 |
표현 방법 |
~ |
부정 |
~는 아니다. |
∨ |
AND |
그리고 |
∧ |
OR |
또는 |
→ |
조건 |
p 이면 q이다. |
↔ |
동치 |
p 이면 q이고. q이면 p이다. |
"n이 소수라면, n+1도 소수이다."라는 명제가 있다고 가정하면 'n은 소수이다.'가 p, 'n+1도 소수이다.'는 q로 대입 되고 이를 p→q로 표현한다.
2. 명제의 역, 이, 대우
앞서 살펴본 조건문 형식의 명제 'p→q' 를 뒤집는 방법은 총 3가지가 있다.
- 역
'q → p'로 원명제(p→q)를 부정 없이 순서만 뒤집는 방법
- 이
'~p → ~q'로 원명제(p→q)의 순서 변경 없이 부정만 추가
- 대우
'~q → ~p'로 원명제(p→q)에 부정을 추가하고 순서도 바꾸는 방법
"x가 10보다 크면, x는 무리수이다."라는 명제가 있다고 가정하면 아래와 같은 역, 이, 대우가 나올 것이다.
역: x가 무리수라면, x는 10보다 크다.
이: x가 10보다 크지 않다면, x는 무리수가 아니다.
대우: x가 무리수가 아니라면, x는 10보다 크지 않다.
3. 조건문의 참, 거짓
p |
q |
p → q |
T |
T |
T |
T |
F |
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
맨위의 예시는 직관적으로 이해 될 수 있다. "지구는 태양계에 속해있다면, 나는 사람이다."라는 명제가 있는 경우, 위 명제의 부합성을 제외 하고 생각한다면, p와 q 모두 참이고 조건 명제 역시 참이 된다. 물론 위의 명제의 경우 p와 q의 연관성은 떨어지는 문장이라 조건문으로서 참인 것이지 명제를 증명할 방법은 없다.
두번째 예시 역시 직관적으로 이해 된다. "지구가 태양계에 속해 있다면, 나는 사람이 아니다."라는 명제의 경우 P는 사실에 입각한 참이지만, Q는 거짓이다. 그래서 위 명제는 성립하지 않게 된다.
세번째 예시의 경우 "지구는 항성이라면, 나는 사람이다."로 표현되는데 이 경우 역시 지구가 항성이 아닌 경우만 있고, q는 항상 참이므로 위 문장은 참이 된다.
이해하기 어려운 문장은 마지막 네번째 예시인데, "지구가 항성이라면, 나는 사람이 아니다."이다. 세번째 예시와 동일하게 p가 거짓이라서 위 명제에서 q로 넘어가지 않는다고 생각하면 된다. 조건문 자체가 p가 성립해야 q를 실행하는 것이다. p가 성립하지 않는다면 q의 참 거짓 여부는 판단하지 않아도 되고 이 조건문은 항상 참이 된다.